Для запуска тестов из TestRail необходимо на панель тестплана и тестрана добавить кастомную кнопку.
Для добавления кнопки необходимо перейти в Administration -> Customizations
Внизу экрана в разделе UI Scripts нажать на кнопку Add UI Script.
По клику на кнопку откроется редактор скрипта.
Вставить в редактор код
Заменить везде <replace here> на правильные значения и сохранить скрипт кнопкой Add UI Script
В результате во вкладке Test Runs & Results на панели управления появится кнопка запуска тестов.
По нажатию на кнопку произойдет вызов API функции TeamCity
/app/rest/buildQueue по добавлению указанной сборки в очередь сборок. При этом сборка будет производиться в указанной ветке. Также в TeamCity передастся параметр env.testrail_run_id в котором передается ID тестрана/тестплана для того чтобы на стороне TeamCity можно было получить список тестов и проставить результат прогона.
Более детально про запуск автотестов из TestRail описано в официальной документации https://www.gurock.com/testrail/docs/customization/automation-trigger